偏差値が9000億であるということ 2

こちらの内容を一般化します。

bubusore.hatenablog.com

自分の点数を x 点、自分以外は全員 s 点だったとします。

すると、平均および二乗平均は

$\begin{align} \langle x \rangle &= \frac{x + (N-1)s}{N} \\ \langle x^2 \rangle &= \frac{x^2 + (N-1)s^2}{N} \end{align}$

となるので、標準偏差は

$\begin{align} \sigma^2 &= \langle x^2 \rangle - \langle x \rangle^2 \\ &= \frac{1}{N}(x^2 + (N-1)s^2) - \frac{1}{N^2}(x + (N-1)s)^2 \\ &= \frac{1}{N^2}\left(Nx^2 +N(N-1)s^2 - x^2 -2(N-1)sx -(N-1)^2s^2\right) \\ &= \frac{1}{N^2}\left((N - 1)x^2 -2(N-1)sx + (N-1)s^2 \right) \\ &= \frac{N - 1}{N^2}\left(x^2 -2sx + s^2 \right) \\ &= \frac{N-1}{N^2}(x - s)^2 \end{align}$

と計算できます。したがって偏差値 T は、 $x \gt s$ ならば

$\begin{align} T &= 10\frac{x- \frac{1}{N}(x + (N-1)s)}{\frac{\sqrt{N-1}}{N}(x - s)} + 50 \\ &= 10\frac{Nx - x - (N-1)s}{\sqrt{N-1}(x - s)} + 50 \\ &= 10\sqrt{N-1}\frac{x - s}{x - s} + 50 \\ &= 10\sqrt{N-1} + 50 \end{align}$

となり、結局具体的な得点には依存しないことがわかります。

もちろん $x \lt s$ であった場合は $x - s$ から負号が出てくるため、 $T= 50 - 10\sqrt{N-1}$ となります。

まとめると、以下が成り立ちます。

合計 N 人が受験するテストにおいて、自分以外の全員が自分より低くなおかつそれらが同じ点数である場合、自分の偏差値は 10 * √(N-1) + 50 と計算できる。